Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Home / Fungsi non linear / Matematika

Contoh Soal Fungsi Non Linear Matematika Ekonomi Dan Jawabannya

contoh soal fungsi non linear matematika

Fungsi non-linear dalam matematika ekonomi adalah jenis fungsi matematika yang tidak mengikuti pola linier atau memiliki tingkat perubahan yang berbeda-beda pada setiap titik. Fungsi ini sering digunakan dalam analisis ekonomi untuk menggambarkan hubungan antara variabel-variabel ekonomi yang kompleks, seperti permintaan dan penawaran, biaya produksi, atau pendapatan perusahaan.

Beberapa contoh fungsi non-linear yang sering digunakan dalam matematika ekonomi antara lain fungsi produksi Cobb-Douglas, fungsi permintaan logaritmik, dan fungsi biaya produksi kuadratik. Fungsi-fungsi ini memiliki sifat matematis yang khas, seperti elastisitas substitusi dan tingkat margin keuntungan, yang berguna dalam analisis ekonomi.

Penggunaan fungsi non-linear dalam matematika ekonomi memungkinkan para ekonom untuk memodelkan hubungan yang lebih realistis antara variabel-variabel ekonomi, serta memperkirakan dampak perubahan pada tingkat produksi, harga, dan keuntungan. Namun, analisis menggunakan fungsi non-linear sering kali memerlukan penggunaan teknik matematika yang lebih kompleks dan rumit.

Berikut ini adalah lima contoh soal matematika fungsi non-linear dalam konteks ekonomi beserta jawabannya:

  • Misalkan fungsi pendapatan suatu perusahaan adalah Q = 10K^(1/2)L^(1/2), di mana Q adalah jumlah produk yang dihasilkan, K adalah jumlah modal yang digunakan, dan L adalah jumlah tenaga kerja yang digunakan. Tentukan elastisitas substitusi antara modal dan tenaga kerja pada tingkat produksi yang menghasilkan 400 unit produk.

Jawaban:

Elastisitas substitusi dapat dihitung dengan rumus ε = - (∂lnK/∂lnL), di mana ln adalah logaritma natural. Kita bisa menghitung bahwa Q = 400 ketika K = 100 dan L = 16. Oleh karena itu, ∂lnK/∂lnL = (∂lnK/∂Q) x (∂Q/∂L) / (∂lnL/∂Q) x (∂Q/∂K). Dengan menghitung turunan parsial, kita mendapatkan ε = 1.

  • Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dijual dengan harga p = 100 - 0,5q, di mana q adalah jumlah produk yang dihasilkan. Biaya produksi per unit adalah c = 20 + 0,5q^2. Tentukan tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum untuk perusahaan tersebut.

Jawaban:

Keuntungan perusahaan dapat dihitung sebagai pQ - cQ = (100 - 0,5q)q - (20 + 0,5q^2)q = 40q - 0,5q^3 - 20. Untuk mencari keuntungan maksimum, kita dapat mengambil turunan fungsi keuntungan dan menyelesaikan untuk q:

d(keuntungan)/dq = 40 - 1,5q^2 = 0

q = 4√(80/3)

Jadi, tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah sekitar 8,17 unit produk.

  • Fungsi permintaan suatu produk dinyatakan sebagai p = 100 - 2q^2, di mana p adalah harga produk dan q adalah jumlah produk yang diminta. Hitunglah elastisitas harga permintaan saat harga adalah 60.

Jawaban:

Elastisitas harga permintaan dapat dihitung dengan rumus ε = - (∂lnQ/∂lnP), di mana Q adalah jumlah produk yang diminta dan P adalah harga produk. Dalam hal ini, fungsi permintaan dapat diubah menjadi Q = (100 - p) / 2^(1/2). Ketika p = 60, jumlah produk yang diminta adalah Q = 20^(1/2). Jadi,

ε = - (∂lnQ/∂lnP)

= - (∂lnQ/∂p) x (p/Q)

= - (-1/2) x (60/20^(1/2))

= 1.5^(1/2)

Jadi, elastisitas harga permintaan saat harga adalah 60 adalah sekitar 1,22.

  • Fungsi produksi suatu perusahaan dinyatakan sebagai Q = 10K^(1/2)L^(1/2), di mana Q adalah jumlah produk yang dihasilkan, K adalah jumlah modal yang digunakan, dan L adalah jumlah tenaga kerja yang digunakan. Tentukan elastisitas substitusi antara modal dan tenaga kerja pada tingkat produksi yang menghasilkan 400 unit produk.

Jawaban:

Elastisitas substitusi dapat dihitung dengan rumus ε = - (∂lnK/∂lnL), di mana ln adalah logaritma natural. Kita bisa menghitung bahwa Q = 400 ketika K = 100 dan L = 16. Oleh karena itu, ∂lnK/∂lnL = (∂lnK/∂Q) x (∂Q/∂L) / (∂lnL/∂Q) x (∂Q/∂K). Dengan menghitung turunan parsial, kita mendapatkan ε = 1.

  • Fungsi biaya produksi suatu perusahaan dinyatakan sebagai C = 50 + 2q^2, di mana C adalah biaya produksi dan q adalah jumlah produk yang dihasilkan. Tentukan tingkat produksi yang menghasilkan biaya minimum.

Jawaban:

Biaya margin dapat dihitung sebagai turunan fungsi biaya produksi terhadap jumlah produk yang dihasilkan, yaitu dC/dq = 4q. Untuk mencari tingkat produksi yang menghasilkan biaya minimum, turunan harus diatur sama dengan nol, sehingga:

dC/dq = 4q = 0

q = 0

Karena produksi minimum yang diperbolehkan adalah nol, biaya minimum juga adalah 50.

Demikian lah beberapa contoh soal fungsi non linear matematika ekonomi dan jawabannya semoga bisa membantu.